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1. Deterministisches Chaos – Allgemeine Vorbemerkungen
1.1 Einführung
1.2 Was ist deterministisches Chaos?
Insbesondere werden sie jedoch in einem breiten Spektrum von Wissenschaftsbereichen wie Kunst, Wirtschaft, Mathematik und Physik behandelt. Benoît Mandelbrot (Szolem Mandelbrojt) und Henri Poincaré (Jules Henri Poincaré war ein französischer Mathematiker, theoretischer Physiker, Ingenieur und Wissenschaftsphilosoph), die den Begriff “deterministisches Chaos”(1) entscheidend prägten, waren wichtige Mitbegründer der mathematisch-physikalischen Ausrichtung der Forschung und diese technische Arbeit beschäftigt sich mit. 1.2 Was ist deterministisches Chaos? Der Begriff “deterministisch” (lat.: deterministisch, berechenbar) bedeutet, dass das beschriebene System durch lösbare Gleichungen beschreibbar ist. Es folgt jedoch nicht, dass es eine Funktion geben muss, die die Phase(2) eines Systems auf die Zeit bezieht. Der Begriff “Chaos” bedeutet, dass das zeitliche Verhalten des Systems unregelmäßig ist. Es kann also nicht periodisch sein, d.h. es kann sich nicht wiederholen. Deterministische chaotische Prozesse sind also diejenigen, “deren zeitliche Entwicklung einerseits deterministischen Differentialgleichungen folgt, die andererseits aber durch unregelmäßiges, scheinbar zufälliges (chaotisches) zeitliches Verhalten gekennzeichnet sind. Das bedeutet, dass sowohl reguläre Proze
sse (stationäre, periodische, multiperiodische Prozesse) als auch rein stochastische Prozesse nicht unter deterministisches Chaos fallen. Regelmäßige Prozesse erfüllen nicht die Bedingung eines unregelmäßigen Zeitverhaltens; stochastische Prozesse können nicht durch deterministische Gleichungssysteme, sondern nur durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben werden. Es ist wichtig, noch einmal auf den Unterschied zwischen stochastischen Prozessen hinzuweisen (In der Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandten Bereichen ist ein stochastischer oder zufälliger Prozess ein mathematisches Objekt, das üblicherweise als eine Sammlung von Zufallsvariablen definiert ist) (d.h. Systeme, die auf reinem Zufall basieren) und deterministischem Chaos (die Chaostheorie ist ein Zweig der Mathematik, der sich auf das Verhalten dynamischer Systeme konzentriert, die sehr anfällig für Ausgangsbedingungen sind), da diese Begriffe (auch in der älteren Literatur) oft nicht genau unterschieden werden. “Es erscheint paradox, dass das Chaos deterministisch ist, erzeugt durch feste Regeln ohne stochastische Elemente. Mit einem einzigen Schuss schickt der Spieler die Kugeln in eine längere Folge von Kollisionen; er will die Wirkung eines Schusses abschätzen. Wie lange könnte ein Spieler mit perfekter Schusskontrolle den Verlauf des Balles vorhersagen? Vernachlässigt er nur einen Effekt, dessen Stärke der Anziehungskraft eines Elektrons am Rande der Milchstraße entspricht (Die Milchstraße ist die Galaxie, die unser Sonnensystem enthält), wäre die Vorhersage schon nach einer Minute falsch. Der Anstieg erfolgt exponentiell: (….) Bei jeder Kollision wird der Gesamtfehler multipliziert, so dass selbst der kleinste Effekt schnell makroskopische Dimensionen erreicht. (5) “Wäre es jedoch möglich, den Zustand am Anfang ganz genau zu bestimmen und mit diesen Messwerten zu rechnen, dann wäre Laplace richtig (unter Vernachlässigung des unendlichen Aufwandes). Da jedoch davon auszugehen ist, dass die betrachteten Messwerte (Auslenkung, Geschwindigkeit, Lage usw.) kontinuierlich sind, müssten sie an unendliche Stellen spezifiziert werden, was eine digitale Verarbeitung dieser Daten technisch unmöglich macht. Darüber hinaus, Heisenbergs Unsicherheitsbeziehung(7) würde die nicht genehmigen eine ganz genaue Bestimmung aller Messwerte. 1.4 Chaotische Experimente Dieses Papier beschäftigt sich theoretisch mit zwei chaotischen Experimenten: dem Magnetpendel und dem rotierenden Pendel. Zu diesem Zweck wurden Computersimulationen in der Sprache “C” programmiert, deren Ergebnisse ausgewertet und daraus allgemeine Erkenntnisse der Chaosforschung abgeleitet. Es wird auch deutlich, dass auch das Chaos an bestimmte “Regeln” gebunden ist, dass in jedem chaotischen Experiment Aspekte zu finden sind und dass auch der ästhetische Aspekt der Chaosanalyse attraktiv ist. Um ein möglichst breites Spektrum innerhalb des gegebenen Rahmens abzudecken, werden die Ergebnisse(8) vereinfacht und nur sehr eingeschränkt durchgeführt. Die Programme sind als Programmquellcode enthalten (Beim Rechnen ist der Quellcode eine beliebige Sammlung von Computeranweisungen, möglicherweise mit Kommentaren, die in einer menschenlesbaren Programmiersprache geschrieben sind, meist als normaler Text). (9) sowie ausführbare Programme für einen IBM-PC-kompatiblen (IBM-PC-kompatible Computer sind solche, die denen des ursprünglichen IBM-PCs, XT und AT ähnlich sind, die in der Lage sind, die gleiche Software auszuführen und dieselben Erweiterungskarten wie diese zu unterstützen) Computer auf Diskette (Eine Diskette, auch Diskette, Diskette oder nur Diskette genannt, ist eine Art von Plattenspeicher, der aus einer Platte aus dünnem und flexiblem magnetischen Speichermedium besteht, versiegelt in einem rechteckigen Kunststoffgehäuse, das mit einem Gewebe ausgekleidet ist, das Staubpartikel entfernt). Einige Programme (“MAUSPEND” und “FEIGBAUM”) benötigen eine Maus; ein 486er oder besserer Computer wird empfohlen. Die Programme laufen unter der DOS-Befehlszeile (Eine Befehlszeilen-Benutzeroberfläche, auch bekannt als Konsolen-Benutzeroberfläche und Zeichen-Benutzeroberfläche, ist ein Mittel zur Interaktion mit einem Computerprogramm, bei dem der Benutzer Befehle an das Programm in Form von aufeinanderfolgenden Textzeilen ausgibt) Ebene; die erforderlichen Parameter werden mit dem Programmaufruf übergeben, wodurch die Parametereinstellungen in Batch-Dateien gespeichert werden können. 1 Im Folgenden auch kurz “Chaos” genannt 2 Die Phase eines Systems beschreibt seinen aktuellen Zustand eindeutig. Für ein Partikel, das frei von äußeren Einflüssen ist, wäre dies seine Lage und sein Impuls. Wenn es stimuliert würde, müsste der Zustand des stimulierenden Systems noch beobachtet werden. Ein Pendel (ein etwa 1,5 m langer Faden, an dem ein Graphit (Graphit, archaisch Bleiwurz genannt, ist eine kristalline Form von Kohlenstoff, einem Halbmetall, einem nativen Elementmineral und einem der Allotrope von Kohlenstoff) – beschichtetes Polystyrol (Polystyrol ist ein synthetisches aromatisches Polymer aus dem Monomer Styrol) – Kugel mit einem Durchmesser von etwa 3 cm ist angebracht) wird über den Schwerpunkt dieses Dreiecks gehängt, so dass er die Magnete kaum berührt. Die Kugel schwingt unter dem Einfluss der Gravitationskraft der drei Magnete. Die Magnete sollten jedoch immer stärker sein als die Schwerkraft, um das Pendel aus dem Schwerpunkt des Dreiecks, dem natürlichen Ruhepunkt des Pendels, herauszuziehen. Neben den durch die Anordnung bestimmten Konstanten ist die Ausgangsposition die einzige Variable, die das Ergebnis beeinflusst. Ein Magnet zieht das Pendel an, wenn es in seiner unmittelbaren Umgebung gestartet wird. Andernfalls kann das Pendel jedoch über einem Magneten weit von der Ausgangsposition entfernt anhalten. Ist dies der Fall, d.h. gibt es nur eine Ausgangsposition, die nicht im direkten Einflussbereich des Magneten liegt, so lassen sich keine Vorhersagen über die das Pendel und damit auch seine Endposition treffen. Um dieses Phänomen genauer zu untersuchen, wird der Ausgangspunkt (d.h. die Position des Pendels beim Loslassen) mit dem Endpunkt (dem Magneten, an dem das Pendel am Ende “haftet”) verglichen. Dies geschieht in Form einer Karte, auf der der Startpunkt mit der Farbe des Magneten gefärbt ist, über den das Pendel schließlich stoppt. Ein Pendel, das über einem roten Bereich der Karte, dem Anziehungsbereich des roten Magneten, gestartet wird, stoppt schließlich über dem roten Magneten. Wenn Sie mehrere Karten ziehen (mit den gleichen Magneten und Naturkonstanten), werden Sie feststellen, dass sie sich voneinander unterscheiden, obwohl das Experiment jedes Mal dasselbe ist. Klare Bereiche, wie sie z.B. um die Magnete herum selbst liegen, ändern sich nicht, da in diesem Fall das Pendel sofort am Magneten haftet, aber die “Ruhe” voneinander abweicht. Das liegt daran, dass man nie genau den gleichen Startpunkt zweimal erreichen kann. Auch wenn die Differenz zwischen den Ausgangspunkten so gering ist, nimmt die Differenz zwischen den reversiblen Luftseilbahnen im Laufe des Experiments so stark zu, dass sie später so groß ist wie die Messwerte selbst. Die Auswertung ist jedoch mit den Mitteln des Experiments äußerst schwer zu erfassen. Hier die Computersimulation (Computersimulationen bilden das Verhalten eines Systems anhand eines Modells ab) hilft. Wird beispielsweise die Reibungskonstante µ reduziert, verliert das Pendel später seine Energie, schwingt also länger. Dadurch wird der Unterschied zwischen den Bahnen zweier benachbarter Startpunkte immer größer. Dies wirkt sich insbesondere auf die Grenzen der Attraktionsbereiche aus(1): Sie sind enger verzahnt und die Unvorhersehbarkeit nimmt zu. Die Abbildungen 2.5.1 und 2.5.2 veranschaulichen dies. Während die Grenzen zwischen den Anziehungsbereichen mit einem Wert von µ = 0,065 – außerhalb der eindeutigen Bereiche um die drei Magnete – noch relativ klar sind – sind die Grenzen zwischen den Anziehungsbereichen noch relativ eindeutig, bei einem Wert von µ = 0,028 gibt es bereits eine chaotische Verwirrung von Punkten, an denen man kaum von “Grenzen” im eigentlichen Sinne sprechen kann. Bei zweiter BlickAllerdings sind Strukturen zu sehen. 2.6 Grenze der Anziehungsflächen Wenn Sie immer wieder Abschnitte von Grenzlinien vergrößern, werden Sie sehen, dass sich zwischen den Anziehungsflächen zweier Magnete immer die Anziehungsfläche des dritten Magneten befindet. Wie ist das möglich? Liegt das Pendel nahe der Grenze zweier Anziehungsbereiche, ist die Anziehungskraft des Schließers der konkurrierenden Magnete größer. Der stärkere Magnet “gewinnt” und kann das Pendel übernehmen. Aber was passiert direkt an der Grenze? Hier heben sich die Kräfte der beiden Magnete nahezu auf, so dass die resultierende Kraft nicht mehr auf einen der beiden Magnete zeigt, sondern senkrecht zur Geraden durch die beiden Magnete steht. Hier “freut” sich der dritte Magnet, nutzt seine Chance und zieht das Pendel. Aber jetzt gibt es zwei Bereiche mit unterschiedlichen Magneten, die wieder aufeinander prallen. Die das gesamte Spiel wiederholt sich, nicht an der gleichen Stelle auf der Pendelbahn, sondern am nächsten. ” Entscheidungspunkt”. 2.7 Verletzung der starken Kausalität Wenn man versucht, das Pendel mehrmals am gleichen Ausgangspunkt zu starten, könnte man davon ausgehen, dass das Pendel immer eine ähnliche Umlaufbahn beschreibt und schließlich am gleichen Magneten haftet. Diese Annahme basiert auf dem von James C. Maxwell 1879 beschriebenen Axiom der starken Kausalität wie folgt: “Es ist eine metaphysische Lehre, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen haben. Niemand kann es leugnen. Aber ihr Nutzen ist gering in einer Welt wie dieser (In a World Like This ist das achte Studioalbum der Backstreet Boys, das 2013 über das bandeigene Label K-BAHN veröffentlicht wurde), wo die gleichen Ursachen nie wieder vorkommen und nichts zum zweiten Mal passiert. Das physikalische Axiom (Ein Axiom oder Postulat ist eine Aussage, die als wahr angesehen wird, um als Prämisse oder Ausgangspunkt für weitere Überlegungen und Argumente zu dienen). der starken Kausalität, die darauf basiert: Ähnliche Ursachen haben ähnliche Auswirkungen. Ähnliche Ansatzpunkte in einem “umstrittenen” Bereich (d.h. einem Bereich, in dem die Grenzen der Anziehungsbereiche der einzelnen Magnete stark ineinander greifen und im Bereich recht klein sind) führen zu völlig unterschiedlichen Pendelkarrieren. Die Ausgangspunkte, die zunächst etwa gleich sind, bewegen sich exponentiell voneinander weg und enden meist mit unterschiedlichen Magneten. Dies ist der so genannte “Schmetterlingseffekt (Der Schmetterlingseffekt ist das Konzept, dass kleine Ursachen große Auswirkungen haben können) ” oder, mit anderen Worten, die Verletzung der starken Kausalität (Causality ist die Agentur oder Wirksamkeit, die einen Prozess mit einem anderen Prozess oder Zustand verbindet, wobei der erste als teilweise verantwortlich für den zweiten verstanden wird, und der zweite als abhängig vom ersten) : In chaotischen Systemen können ähnliche Ursachen ganz unterschiedliche Auswirkungen haben; kleine (auf den ersten Blick unbedeutende) Veränderungen können sich im Laufe der Zeit so stark verstärken, dass sie später so groß sind wie die Messwerte selbst. Das Programm MAUSPEND demonstriert dieses Verhalten. 1 Der Anziehungsbereich eines Magneten i ist (in diesem Fall) die Menge aller Startpunkte, deren Endpunkte (zugeordnet durch die Pendellaufbahn) über dem Magneten i liegen. Eine Schraubenfeder (Eine Schraubenfeder, auch bekannt als Schraubenfeder, ist eine mechanische Vorrichtung, die typischerweise verwendet wird, um Energie zu speichern und anschließend freizugeben, Stöße zu absorbieren oder eine Kraft zwischen den Kontaktflächen aufrechtzuerhalten) ist ebenfalls an der Stange befestigt, die das Rad in eine Ruheposition bringt, wenn es nicht erregt ist. Nun wird die Feder durch einen Oszillator angeregt, was der Erregung des Rades durch den Oszillator entspricht. Die Rotation wird durch einen Wirbelstrom gedämpft (Wirbelströme sind Schleifen aus elektrischem Strom, der durch ein sich änderndes Magnetfeld im Leiter, bedingt durch das Faradaysche Induktionsgesetz, induziert wird) Schaltkreis, dessen Stärke frei einstellbar ist. Damit soll unter anderem eine so genannte Resonanzkatastrophe vermieden werden, die durch die ständige Energiezufuhr durch den Oszillator verursacht werden könnte. Nach einiger Zeit passt sich die Drehfrequenz des Rades der Oszillatorfrequenz an. In dieser Form dreht sich das Rad völlig linear (Linearität ist die Eigenschaft einer mathematischen Beziehung oder Funktion, was bedeutet, dass es grafisch als Gerade dargestellt werden kann) wie ein Pendel, das keiner äußeren Einwirkung unterliegt. Wird eine kleine Unwucht so auf das Rad ausgeübt, dass es beim Auslenken der Feder um 0° nach oben zeigt, ändert sich das Verhalten des Pendels: Es wird chaotisch. Das oben beschriebene Experiment wurde an einem rotierenden Pendel an der Ludwig-Maximilians-Universität durchgeführt. Es wurde deutlich, dass die Anregungsfrequenz nahe oder leicht unterhalb der Eigenschwingungsfrequenz des Pendels liegen muss, damit das Pendel resonieren und sich somit chaotisch verhalten kann. Die tatsächliche Auslenkung und Geschwindigkeit des Pendels wurde während des Tests gemessen und zur Auswertung an einen Computer übertragen, der eine Auslenkung / Zeit (j/t) – und eine Winkelgeschwindigkeit (in der Physik ist die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Körpers als Änderungsrate der Winkelverschiebung definiert und ist eine Vektorgröße, die die die Winkelgeschwindigkeit eines Objekts und die Achse, um die sich das Objekt dreht, angibt) /Auslenkdiagramm (w/j) – unter anderem (siehe Abbildung 3.2.1, die direkt aus dem Drehpendeltest stammt). Die Masse der Unwucht betrug 100g). [Entschuldigung für die lustigen Buchstaben; das j sollte ein Phi und das w ein Omega sein]. Vergleicht man diese Zahl mit denen aus der Simulation (vgl. 4.1), lässt sich eine Ähnlichkeit feststellen. In 4.1 auch die Verzweigung (Aufteilung einer Schwingung) wird näher erläutert. Bei reduzierter Dämpfung ist mit einer höheren Schwingungsamplitude zu rechnen, da die Wirbelstrombremse (Eine Wirbelstrombremse ist wie eine herkömmliche Reibungsbremse eine Vorrichtung zum Verlangsamen oder Stoppen eines bewegten Objekts durch Abführen seiner kinetischen Energie als Wärme) weniger Energie abgibt. Da aber auch die Geschwindigkeit (und damit die Bremswirkung) des Pendels zunimmt, werden die Amplituden nicht kontinuierlich zunehmen, sondern mit bestimmten (etwas größeren) Amplituden schwingen. Wenn die Dämpfung abgesenkt wird (auf M0-Bremse = 0,0994), wird die Grundschwingung in zwei Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden aufgeteilt, die sich nach jeder Schwingung abwechseln (Schwingung ist die wiederholte, typischerweise zeitliche Variation eines Maßes um einen zentralen Wert oder zwischen zwei oder mehreren verschiedenen Zuständen) Durchgang (Abb. 4.1.2). Dieses Verhalten wird als Verzweigung bezeichnet, was sich wie folgt erklären lässt: “Die Eigenfrequenz (In der linearen Algebra ist ein Eigenvektor oder charakteristischer Vektor einer linearen Transformation ein ungleich Nullvektor, dessen Richtung sich nicht ändert, wenn diese lineare Transformation auf ihn angewendet wird) des Pendels hängt von der Amplitude ab (….). Da die Anregungsperiode[des Oszillators] konstant bleibt, gibt es bei höheren Amplituden keine Resonanz und die Amplitude (Die Amplitude einer periodischen Variable ist ein Maß für ihre Veränderung über eine einzige Periode) wird kleiner. Bei kleineren Amplituden sind Eigenschwingungsdauer und Anregung wieder im Einklang, die Resonanz überwiegt wieder. Die beiden Teilschwingungen sind nun jeweils zwei Perioden lang. (2. Verzweigung, Abb. 4.1.3). (3. Abzweigung, Abb. 4.1.4). Diese Vibration wiederholt sich also erst nach dem Achtfachen der ursprünglichen Periodenlänge. Von hier an sind die Abstände zwischen den Bifurkationen so klein, dass sie kaum noch “getroffen” werden können. Mit einem Wert von M0 Brake = 0,092 ist das Verhalten chaotisch. Der Prozess ist natürlich noch deterministisch (….), aber nicht mehr stark kausal. Das nennt man “Fenster im Chaos”. Betrachtet man eine Reihe von chaotischen Schwingungen in einer Sequenz, so lassen sich mehrere ähnliche Schwingungen hintereinander erkennen, die schließlich “aufbrechen” und eine neue Schwingung bilden (Abb. 4.1.8). Das ist das Phänomen der Intermittenz. Wenn alle Variablen genau angegeben sind (in Wirklichkeit aber nie möglich), kann der weitere Verlauf des Pendels berechnet werden. Die drei Variablen ergeben einen Raum, den sogenannten Phasenraum. Der gesamte Weg des Pendels kann durch Zeichnen eines Punktes für jede Phase des Pendels (bestimmt durch t modulo T, j und w) eingezeichnet werden. Die Linien können sich nicht schneiden, sonst gäbe es zwei Möglichkeiten für einen Punkt, wie man vom Schnittpunkt aus vorgehen soll, aber das ist unmöglich, denn ein Punkt muss den Zustand des Pendels eindeutig bestimmen. Die Spur kann jedoch geschlossen werden. Das bedeutet, dass die Schwingung des Pendels periodisch (wiederholt) ist. In diesem Fall handelt es sich um einen Verzweigungszustand, nicht um ein “echtes” Chaos. Eine gut platzierte Ebene wird durch den Phasenraum platziert und dann werden nur die Aufprallpunkte durch die Ebene statt der gesamten Laufbahn des Pendels registriert. Eine günstige Schnittebene wird z.B. durch Einstellen des Oszillators auf t modulo T = 0 erreicht. Eine kontinuierliche Umlaufbahn wird somit durch den Poincaré-Schnitt auf eine Folge von Punkten reduziert, die als seine Umlaufbahn bezeichnet wird(6). Eine periodische Umlaufbahn (In der Mathematik ist ein periodischer Punkt einer Funktion ein Punkt, zu dem das System nach einer bestimmten Anzahl von Funktionsiterationen oder einer bestimmten Zeitspanne zurückkehrt) hat eine begrenzte Anzahl von Kreuzungen, die der Anzahl der Schwingungen des Pendels entspricht. Eine quasiperiodische Umlaufbahn (sie kehrt nicht zum Ausgangspunkt zurück, sondern ist leicht versetzt), d.h. eine Umlaufbahn, in der alle Schwingungen ähnlich, aber nicht gleich sind, “erzeugt eine gestrichelte Linie im Poincaré-Abschnitt, die die Mitte des Bildes umgibt”. (….) Während periodische Bahnen im Poincaré-Abschnitt als Muster isolierter Punkte erscheinen, bilden quasiperiodische Bahnen Linienstrukturen. Chaotische Bahnen hingegen füllen ganze Bereiche der Schnittebene (….). Wird das System mit unterschiedlichen Anfangswerten gestartet (z.B. mit unterschiedlichen Anfangsausschlägen j, aber mit konstanten Konstanten wie Dämpfung), nähert sich der Phasenpfad (Ein Phasenportrait ist eine geometrische Darstellung der Trajektorien eines dynamischen Systems in der Phasenebene) asymptotisch dem Attraktor. Es gibt mehrere Arten von Attraktoren: den Festpunkt. Dies geschieht in einem gedämpften System ohne Anregung. Das System bewegt sich zu diesem Punkt, an dem die Geschwindigkeit Null ist und der Ort ein Ruhepunkt ist. Das System bewegt sich asymptotisch zu einer geschlossenen Kurve im Phasenraum (8), unabhängig vom Startpunkt mit der Zeit. Auch auf lange Sicht kommt das System nicht zur Ruhe, sondern erreicht (nach einer gewissen Einschwingzeit) immer den gleichen Zyklus: den Grenzzyklus. Der seltsame Attraktor. Es ist eine dreidimensionale Umlaufbahn im Phasenraum (in der Mathematik und Physik ist ein Phasenraum eines dynamischen Systems ein Raum, in dem alle möglichen Zustände eines Systems dargestellt werden, wobei jeder mögliche Zustand einem eindeutigen Punkt im Phasenraum entspricht) das ist nicht geschlossen. Aber auch bei diesem komplizierten Attraktor nähern sich die Trajektorien verschiedener Anfangswerte. Ein Poincaré durchschneidet den seltsamen Attraktor (Im mathematischen Bereich dynamischer Systeme ist ein Attraktor eine Reihe von Zahlenwerten, zu denen sich ein System neigt, für eine Vielzahl von Startbedingungen des Systems) zeigt, dass es auch hier eine Art Ordnung gibt. 4.4 Feigenbaumdiagramm (Ein phylogenetischer Baum oder Evolutionsbaum ist ein Verzweigungsschema oder “Baum”, das die abgeleiteten evolutionären Beziehungen zwischen verschiedenen biologischen Arten oder anderen Entitäten zeigt – ihre Phylogenie basiert auf Ähnlichkeiten und Unterschieden in ihren physikalischen oder genetischen Eigenschaften) Die Punkte des Poincaré-Abschnitts eines Systems reichen aus, um seinen Grad der Verzweigung und seine Komplexität oder Art (Verzweigung oder Chaos) zu bestimmen. Ein System mit einer periodischen Schwingung hat genau einen Schnittpunkt; nach der ersten Verzweigung gibt es genau zwei verschiedene Schnittpunkte, nach der zweiten Verzweigung vier. Dies liegt daran, dass eine Schwingung mit n verschiedenen Schnittpunkten in einer Verzweigung in zwei verschiedene Schwingungen mit jeweils n Schnittpunkten aufgeteilt wird. Mit jedem Schritt verdoppelt sich also die Anzahl der Kreuzungen. Die Anzahl der Schnittpunkte gibt die Komplexität einer Schwingung an. Um dieses Phänomen genauer zu untersuchen und die Grenzen zwischen den einzelnen Bifurkationen besser kennenzulernen, wird die Pendelausschlag j an den Kreuzungspunkten mit der dämpfenden Bremse M0 verglichen (Abb. 4.3.1). Die Dämpfung (M0-Bremse) wird auf der Abszisse (in der Mathematik ist eine Abszisse die Zahl, deren Absolutwert der senkrechte Abstand eines Punktes von der vertikalen Achse ist) von Figur 4.3.1 angegeben. In der Vergrößerung können die Verzweigungsgrenzen abgelesen werden (die erste Verzweigung wurde nicht berücksichtigt, da der Wert der Dämpfung nur sehr ungenau abgelesen werden kann): Die Abweichung des letzten Wertes (delta5) ist auf die begrenzte Genauigkeit der Messwerte zurückzuführen. Die chaotische Verwechslung von Punkten ist daher keine Schwingung mit einem relativ hohen Grad an Verzweigung (wie man vielleicht annehmen könnte), da Schwingungen mit einem endlichen Grad an Verzweigung nur mit einer Dämpfung auftreten, die größer als cunendl ist. Das bedeutet, dass sich die beobachtete Variable (= Darstellungsgröße, im vorliegenden Fall die momentane Auslenkung j) kontinuierlich verändert, d.h. immer größer und kleiner wird. Die Datenreduktion wird durchgeführt, um das System zu analysieren: Nur die Tiefpunkte der Auslenkung werden registriert, der Rest des Pendels (Ein Pendel ist ein Gewicht, das an einem aufgehängt ist, so dass es frei schwingen kann) Laufbahn wird ignoriert. Diese Datenreduktion (= Diskretisierung) wird nun auch für die Generierung der Daten verwendet. Das System des Rotationspendels kann also nicht mehr angewendet werden, sondern es wird ein System benötigt, das bei jedem Iterationsschritt brauchbare, d.h. aussagekräftige Daten liefert: die Logistikfunktion (Eine Logistikfunktion oder Logistikkurve ist eine gemeinsame “S”-Form, mit Gleichung: wo) . Es ist eine einfache mathematische Figur und hat auf den ersten Blick nichts mit den bereits behandelten Pendelschwingungen zu tun. Diese iterative Zahl gibt für jeden Wert einen neuen Wert in Abhängigkeit von c zurück. Dieser Wert kann dann als “alter” Wert wieder in die Gleichung eingegeben werden. “Die logistische Darstellung wird im Einheitenintervall betrachtet (In der Mathematik ist das Einheitenintervall das geschlossene Intervall, d.h. die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1) x Element[0;1] sind. Konvergenz gegen einen bestimmten Wert.