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Der Begriff Algebra (In der universellen Algebra und mathematischen Logik ist ein Begriff Algebra eine frei generierte algebraische Struktur über eine bestimmte Signatur) kommt aus Algebra et Almucabala. Dies ist die lateinische Übersetzung eines arabischen Lehrbuchs zur Lösung von Gleichungen aus dem Jahr 820 und bedeutet “Overing Over. Gleichungen entstehen, wenn man ein Problem in der Sprache der Mathematik ausdrückt. Die einfachsten Gleichungen sind Gleichungen mit einer unbekannten, d.h. mit einer nicht bekannten und berechenbaren Größe.
Meistens sind Sie auf der Suche nach einer Nummer, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Das folgende Beispiel veranschaulicht
dies:
Wie viele Monate musst du sparen, um ein Handy für 180 Euro zu kaufen? Du hast bereits 20 Euro und kannst jeden Monat 8 Euro sparen. Natürlich kannst du eine so einfache Aufgabe in deinem Kopf berechnen. Es ist 20 Monate her. Aber du kannst auch so tun, als ob du das nicht wüsstest und die unbekannte Monatsnummer x nennen. Dann sparst du 8x Euro in x Monaten, und da du bereits 20 Euro hast, ist die Bedingung für x: 8x + 20 = 180.
Das ist die Gleichung Ihres Problems. Jetzt müssen wir die 20 auf die andere Seite, d.h. wir müssen 20 von beiden Seiten entfernen: 8x = 180 – 20 = 160.
Dann bringen wir die 8 rüber: Jetzt mü
ssen wir beide Seiten durch 8 teilen (denn 8 mal x und nicht 8 plu
s x ist auf der linken Seite). Also: x = 160 : 8 = 20. Vielleicht sehen Sie die Vorteile einer solchen Berechnung nur bei schwierigeren Aufgaben. Sie haben zum Beispiel gehört, dass Mobiltelefone nur jeden Monat durchschnittlich 2 Euro billiger sind. Jetzt lautet die Gleichung: 8x + 20 = 180 – 2x, denn in den x Monaten, die Sie sparen müssen, wird das Handy um 2x Euro billiger. Das Lösen geht mit dem Herüberbringen wieder los: Zuerst bringen wir das 2x auf die linke Seite, d.h. wir müssen auf beiden Seiten 2x hinzufügen: 2x + 8x + 20 = 180, also 10x + 20 = 180. Und jetzt geht es wie vorher: 10x = 180 – 20 = 160x = 16. So müssen Sie jetzt nur noch 16 Monate sparen. Wie ist es jetzt, wenn du nur 10 Euro oder gar 30 Euro am Anfang hast, wenn du nur 6 Euro oder sogar 9 Euro pro Monat sparen kannst und wenn du ein anderes, billigeres Handy wählst? Musst du jedes Mal rechnen? Weißt du, Mathematiker sind faul und wollen nicht die gleichen Dinge zweimal machen. Wir nehmen einfach Buchstaben für die Zahlen, die wir noch nicht kennen, und rechnen mit ihnen, als wären es Zahlen: Sie sparen einen Euro im Monat, haben am Anfang b Euro und wollen ein Handy für c Euro kaufen. Jetzt lautet die Gleichung: ax + b = c, und Sie lösen es wieder, indem Sie es überbringen: ax = c – bx = (c – b) : a. Jetzt können Sie beliebige Werte für a, b und c einstellen und die Einsparungzeit erhalten, zum Beispiel: Sparquote a = 9 Euro, Anfangsgeld b = 15 Euro und Handypreis c = 150 Euro ergibt: x = (150 – 15) : 9 = 135 : 9 = 15 Monate.
Das Lösen von Gleichungen wird schwieriger, wenn das unbekannte x in einer höheren Leistung auftritt. Im Artikel Mathematik und Arithmetik hatten wir nach einer Zahl gesucht, deren Quadrat zu 2 führt, wenn wir die unbekannte Zahl x erneut aufrufen, müssen wir die Gleichung x2 = 2 lösen. Wir nannten die Lösung damals Ã. Aber natürlich ist -Ã auch eine Lösung, denn minus mal minus minus ist plus. Die Gleichung hat also zwei Lösungen! Und was ist mit der Gleichung x2 = -1? Kann es eine Zahl geben, deren Quadrat negativ ist? Die Zahl kann nicht positiv sein, denn plus mal plus ist plus. Aber es kann auch nicht negativ sein, denn Minus mal Minus mal Minus ergibt wieder Plus. Die Gleichung ist also unlöslich. Natürlich geben Mathematiker nicht so leicht auf. Sie stellen sich vor, auch dafür Lösungsnummern zu haben, die sie dann auch imaginäre Zahlen nennen. Welche Art von Zahlen können das sein? Diese imaginären Zahlen sind jedoch nicht so weltfremd: Wenn man den elektrischen Strom mathematisch beschreiben will, kommt man ohne sie nicht aus! Gleichungen mit mehreren Unbekannten Viele Probleme verursachen mehrere Unbekannte. Hier ist ein weiteres Beispiel: Du erinnerst dich an einen Geburtstag. Das hat dein Vater gesagt: Heute bin ich dreimal so alt wie du, aber in 10 Jahren werde ich nur noch doppelt so alt sein wie du. Wie alt warst du und dein Vater damals? Nennen wir dein unbekanntes Alter von dann x und das deines Vaters y. Dann übersetzen sich die beiden Aussagen deines Vaters in zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten x und y: y = 3x, also damals, und y + 10 = 2(x + 10), nach 10 Jahren.
Da nach der ersten Gleichung y = 3x, können Sie diese in die zweite Gleichung setzen und erhalten: 3x + 10 = 2(x + 10), also 3x + 10 = 2x + 20, und wieder mit dem Überbringen der 10 und dann der 2x: 3x – 2x = 20 – 10, also x = 10. Damals warst du also 10 Jahre alt und dein Vater 30. Nach 10 Jahren bist du 20 Jahre alt und dein Vater 40. Bei den meisten Problemen in unserer Welt gibt es viele Unbekannte und viele Gleichungen. Einige haben mehrere Lösungen, unter denen wir wählen können, andere haben überhaupt keine Lösung. Wenn die Mathematik sagt: Es gibt keine Lösung, es mag schade sein, aber zumindest muss man nicht weiter suchen. Die heutige Algebra basiert nicht nur auf Zahlen und Buchstaben. Sie kann auch andere Dinge verbinden und mit ihnen rechnen, als wären es Zahlen. Zum Beispiel können wir mit geraden und ungeraden Zahlen rechnen (denken Sie an gerade und ungerade Zahlen (Parity ist ein mathematischer Begriff, der die Eigenschaft der Einbeziehung einer ganzen Zahl in eine von zwei Kategorien beschreibt: gerade oder ungerade) ): gerade + gerade = gerade + gerade + ungerade = ungerade ungerade + ungerade = gerade × gerade × gerade × gerade = gerade × ungerade = gerade ungerade = ungerade. Wenn du Null statt gerade und eins statt ungerade nimmst, ist das wie das Berechnen von 0 und 1, aber mit einer Ausnahme: 1 + 1 ist jetzt 0. Etwas Verrücktes? Solche aus vielen Elementen bestehenden Rechengebiete spielen heute in Computern oder bei der Verschlüsselung von Nachrichten eine wichtige Rolle!