Die Untersuchung einer rationalen Funktion (Kurvendiskussion)

Überprüfen Sie die Funktion f mit F(x) = (x – 1)2: (x + 2)
Maximaler Definitionsbereich 1.Maximaler Definitionsbereich
Die Funktion ist bei den Nenner-Nullstellen nicht definiert.
x+2 = 0 x = -2
Der maximale Definitionsbereich ist D = R / _-2_.
2.Vereinfachung des Funktionstermins
Da Zähler und Nenner keine Teiler sind, ist es nicht möglich, sie zu kürzen.
Polynom-Division (In der Algebra ist die Polynom-Lang-Division ein Algorithmus zur Division eines Polynoms durch ein anderes Polynom gleichen oder niedrigeren Grades, eine verallgemeinerte Version der bekannten arithmetischen Technik namens Long Division):
f(x) = x – 4 + 9: (x + 2).
Ableitungen 3.Ableitungen
f `(x) = 1 + (-9 * 1) : (x + 2)2 = 1 – 9 : (x + 2)2
f “ (x) = – (0 – 9 * 2 (x + 2) * 1) : ((x + 2)4) = 18: (x + 2)3
f “` (x) = (0 – 18 * 3 (x + 2)2 * 1) : (x + 2)6 = (- 54) : (x + 2)4
Symmetrie
Die Zählerfunktion (wie die Nennerfunktion) ist weder gerade noch ungerade. So ist der Funktionsgraph (ebenfalls dargestellt sind seine beiden realen Wurzeln und das globale Minimum über das gleiche Intervall) weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Verhalten in der Nähe der Definitionslücken5.
Stellung -2:
Für x -2:
x -2 – f(x) -_
Für x -2:
x -2 – f(x) _
Die Funktion hat einen Pol mit Vorzeichenwechsel von – nach +.
Die Pollinie hat die Gleichung X = -2
6.Verhalten bei

sehr großem x oder sehr kleinem x
für sehr große x :
x – 9 : (x + 2) 0 Näherungsfunktion: y = x – 4.
für sehr kleine x:
x – – – 9 : (x + 2) 0 Näherungsfunktion: y= x – 4.
Die Funktion hat eine schräge Asymptote (In der analytischen Geometrie ist eine Asymptote einer Kurve eine Linie, so dass der Abstand zwischen der Kurve und der Linie gegen Null geht, da sie zur Unendlichkeit neigen) mit der Gleichung y = x – 4.
7.null
Für die Nullen f(x) = 0
(x -1)2: (x + 2) = 0 (x – 1)2 = 0 x – 1 = 0 x = 1
1 ist die doppelte Null von f.
8. extreme Punkte
Erforderliche Bedingung für Extrempositionen: F `(x) = 0
1 – 9 : (x + 2)2 = 0 1 = ) : (x + 2)2 (x + 2)2 = 9
x + 2 = 3 x + 2 = – 3 x = 1 x = – 5
1 und – 5 sind mögliche Extrempositionen.
Ausreichende Bedingung für Extrempositionen: f `(x) = 0 und F“` (x) ungleich 0
f “ (1) = 18: 27 0, d.h. Tiefpunkt
f “ (-5) = – 18 : 27 0 “also Höhepunkt
Koordinaten der Extrempunkte:
f(1) = 0 ; niedrig T(1|0)
f(-5) = – 36 : 3 = -12 ; Höhepunkt H(-5|-12)
Wendepunkte 9.Wendepunkte
Erforderliche Bedingung für Wendepunkte: f“(x) = 0
18 : (x + 2)3 = 0 18 = 0
Die Gleichung hat keine Lösung!
Es gibt keine Wendepunkte!